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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Use coordenadas polares para calcular a área da região R interior ao círculo x - 1 2 + y 2 = 1 , exterior ao círculo x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Vamos primeiramente tentar entender essa região que nós estamos trabalhando, ok?

Observa que ele nos diz que a região está no interior de x - 1 2 + y 2 = 1 ,   que é um círculo de raio 1 deslocado uma unidade no eixo x

Sabemos ainda também que a região se encontra no exteriordo círculo x 2 + y 2 = 1 .

O que nos leva então a essa região

Passo 2

Precisamos lembrar ainda que nas coordenadas polares, nossas substituições serão

x = r c o s θ

y = r s e n θ

E temos que lembrar ainda do Jacobiano, que nos vai ser dado por

Passo 3

Substituindo nas equações que temos

x 2 + y 2 = 1 .

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 s e n 2 + cos 2 ⁡ θ = 1

r = 1

Até aí tranquilo. Fazendo o mesmo na outra equação

x - 1 2 + y 2 = 1

r c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ = 1

r = 2 c o s θ

Com isso temos a variação do raio, que sabemos sair da circunferência centrada na origem ( r = 1 ) e ir até a deslocada ( r = 2 c o s θ ) .

Passo 4

Já o θ vai vairar entre os pontos onde as circunferências se encontram, ou seja

x - 1 2 + y 2 = x 2 + y 2

x 2 - 2 x + 1 = x 2

- 2 x + 1 = 0

x = 1 2

r c o s θ = 1 2

q u a n d o   r = 1

c o s θ = 1 2

O cosseno é igual a 1 2 quando θ vale ± π 3

Logo

- π 3 ≤ θ ≤ π 3

1 ≤ r ≤ 2 c o s θ

Passo 5

Nosso último passo agora então é montar e calcular nossa integral

A = ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 2 c o s θ r   d r   d θ

Observa que isso nos desenha toda a áre vermelha

Mas observa como ela é simplesmente espelhada no eixo x. Então, pra fazer nossas continhas mais simples, vou escrever

A = 2 ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 c o s θ r   d r   d θ

O que significa basicamente que se eu tiver duas metades de cima, eu numericamente tenho a mesma área que procuramos.

∫ 0 π 3 ( 4 cos 2 ⁡ θ - 1 )   d θ

Vamos substituir cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s 2 θ 2

∫ 0 π 3 4 1 + c o s 2 θ 2 - 1 d θ

= π 3 + 3 2

Resposta

π 3 + 3 2

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