7 - Usando coordenadas polares, calcule:

c) ∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y , onde R é a região limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Temos uma integral para resolver, dada por

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y

Onde R é a região limitada entre as duas equações x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .

Se tentássemos calcular essas integrais pelo método convencional, íamos ter um enorme trabalho.

Mas então como vamos calcular esse negócio??

Observando a região R , vemos que ela é limitada por duas circunferências, isso é um indício que temos que converter os valores de x e y para coordenadas polares.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Passo 2

Primeiro de tudo vamos identificar nossa região de integração e definir nossos limites de integração.

Desenhando nossas curvas x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 , temos

Só de ver esse gráfico já bateu uma fome de donuts, não é? 😋

Quando temos a região de integração na forma de circular ou elíptica, temos que observar duas coisas.

A primeira a variação angular que a região faz com a origem do sistema e a variação do raio da circunferência.

Como a região leva em consideração o anel completo, a variação angular usando sempre como base o semieixo x positivo é de 0 a 2 π

Já a variação do raio é a distância mínima e máxima da região com a origem. Vemos que o limite mínimo é dado quando estamos sob a circunferência x 2 + y 2 = 1 , ou seja, quando o raio é igual a 1 . Já o limite máximo é dado quando estamos sob a circunferência x 2 + y 2 = 9 , ou seja, quando o raio é igual a 3 (raio = 9 ).

Com isso, os limites de integração de f é dado por

∫ 1 3 ∫ 0 2 π x 2 + y 2 r d θ d r

Mas e aí, agora é só calcular a integral?

Passo 3

Calma, já vamos poder calcular essa integral, mas ainda falta uma coisinha.

Nossa função é dada por f x , y = x 2 + y 2 , mas temos que converter para coordenadas polares f r , θ .

Para converter para polares, temos que substituir x = r c o s θ e y = r s e n θ , ou no caso, como temos x 2 + y 2 , substituímos simplesmente por r 2 . Só lembrar da equação da circunferência x 2 + y 2 = r 2 .

f r , θ = r 2

f r , θ = r

Agora sim, substituindo essa função na nossa integral sem esquecer do jacobiano r !

∫ 1 3 ∫ 0 2 π r r d θ d r → ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r

Primeiro integrando com relação a θ , vemos que não temos θ na nossa função então r 2 se comporta como uma constante.

Como sabemos a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ r 2 d θ = r 2 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π r 2 d θ = r 2 2 π - r 2 0

∫ 0 2 π r 2 d θ = 2 π r 2

Agora temos que usar o resultado dessa integral pra integrar com relação a r

Passo 4

Agora temos a integral

∫ 2 π r 2 d r

Por integração de polinômios, dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ 2 π r 2 d r = 2 π r 2 + 1 2 + 1 = 2 π r 3 3

Se aplicarmos os limites de integração, temos

∫ 1 3 2 π r 2 d r = 2 π 3 3 3 - 2 π 1 3 3

∫ 1 3 2 π r 2 d r = 52 π 3

Logo, nossa resposta é

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y = 52 π 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y = 52 π 3

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