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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Coordenadas polares

Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região R , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Rearrumando a equação da circunferência:

x - 1 2 + y 2 = 1

Portanto, é uma circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) . Temos isso aqui então:

A região R é essa em cinza.

Passo 2

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares (já que se trata de um círculo):

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Fazendo a mudança na equação da circunferência:

r cos ⁡ θ - 1 2 + r   s e n   θ 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ + 1 + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Como o raio varia desde a origem até a equação da circunferência, temos:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

Agora, olhando para o desenho, temos que

0 ≤ θ ≤ π 2

Que é a parte do primeiro quadrante.

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

∬ R   y d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r   s e n   θ r d r d θ

Temos, então:

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2   s e n   θ d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= ∫ 0 π 2 r 3 3 s e n   θ 0 2 cos ⁡ θ d θ =

= 1 3 ∫ 0 π 2 8 cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ =

= 8 3 ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ =

Agora fazemos

cos ⁡ θ = u

- s e n   θ   d θ = d u

Mudando os limites de integração vai dar

θ = 0             →             u = 1

θ = π 2             →             u = 0

A nossa integral fica

= - 8 3 ∫ 1 0 u 3 d u =

= - 8 3 u 4 4 1 0 =

= - 8 3 0 - 1 4 =

= 8 12 =

= 2 3

Resposta

2 3

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