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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Coordenadas polares

Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .

Passo 1

O que o problema pede é, então,

∬ D   d x d y

Onde D = ( x , y ) | x 2 3 + y 2 3 ≤ 1

Precisamos, então, escrever essa região D em uma integral iterada. Como temos quadrados na equação, isso é um indicativo de que vamos utilizar coordenadas polares. Porém, não temos x 2 , mas sim x 2 3 .

Veja que podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

x 1 3 2 + y 1 3 2 = 1

Para termos variáveis elevadas ao quadrado, podemos fazer a substituição:

x 1 3 = u   → x = u 3

y 1 3 = v   → y = v 3

A região de integração passa a ser, então:

D * = { u 2 + v 2 ≤ 1 }

Passo 2

Como em toda substituição que fazemos, precisamos calcular o Jacobiano:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 3 u 2 0 0 3 v 2

J = 9 u 2 v 2

A integral passa a ser então:

∬ D *   9 u 2 v 2   d u d v

Passo 3

Se você reparar, a região D * , dada pela equação u 2 + v 2 ≤ 1 é um círculo de raio 1 . Vamos, então, utilizar coordenadas polares agora, para finalmente escrever a região de integração na integral iterada. Faremos:

u = r cos ⁡ θ

v = r   s e n   θ

J = r

Temos, então 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:

9 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r cos ⁡ θ 2 r   s e n   θ 2 r   d r d θ =

= 9 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ   d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a r temos:

= 9 ∫ 0 2 π r 6 6 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ r = 0 r = 1 d θ =

= 3 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ d θ =

Passo 6

Agora vamos aplicar as fórmulas do arco duplo cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 e s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ   2

= 3 8 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ =

= 3 8 ∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ 2 θ d θ =

Aplicando a fórmula novamente temos cos 2 ⁡ 2 θ = 1 + cos ⁡ 4 θ 2

= 3 8 ∫ 0 2 π 1 - 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ =

= 3 16 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 4 θ d θ =

Integrando em relação a θ :

= 3 16 θ - s e n   4 θ 4 0 2 π =

= 3 16 × 2 π =

Resposta

3 π 8

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