Uma placa plana tem a forma da região D que ocupa o primeiro quadrante entre as circunferências x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 . Se a densidade em cada ponto da placa é igual à soma das coordenadas do ponto, determine a massa da placa.

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema disse que temos uma placa plana em que a densidade é igual à soma das coordenadas em um ponto, então

ρ = x + y  

E pediu para calcularmos a sua massa. Como fazer isso?

A placa é plana, então considerando uma densidade superficial ρ , a massa total vai ser

m = ∫ ρ d A

E qual é esse d A ? É a região descrita no enunciado: primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Agora com todos esses dados, a ideia é montar a integral e #partiu resolver!

Bora começar?

Passo 2

Em coordenadas polares a região do primeiro quadrante entre as curvas

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

Fica

1 < r < 2

0 < θ < π 2

Tudo bem até aqui? O diferencial de área em coordenadas polares fica

d A = r   d r   d θ

E a densidade

ρ = x + y = r cos ⁡ θ + s e n θ

Tranquilo?

Vamos montar nossa integral de massa

m = ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ + s e n θ . r   d r   d θ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ + s e n θ d θ ∫ 1 2 r 2   d r

Beleza? Podemos separar assim pois parte do integrando só depende de r e outra parte só depende de θ , e os limites de integração são constantes

Passo 3

Agora é #partiu resolver! Vamos resolver as duas ao mesmo tempo

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ + s e n θ d θ ∫ 1 2 r 2   d r = s e n θ - cos ⁡ θ 0 π / 2   .   r 3 3 1 2

Beleza? E agora aplicar os limites de integração em cada parte

= s e n π 2 - cos ⁡ π 2 - s e n 0 + cos ⁡ 0 . 2 3 3 - 1 3 3

E por fim vamos simplificar esse resultado ao máximo!

= 1 + 1 . 8 - 1 3 = 2 . 7 3 = 14 3

E é isso! Terminamos! Até a próxima!

Resposta

14 3

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