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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFF – Cálculo 2 – P2 – Questão 2

Uma placa plana tem a forma da região D que ocupa o primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 . Se a densidade em cada ponto da placa é igual à soma das coordenadas do ponto, determine a massa da placa.

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema disse que temos uma placa plana em que a densidade é igual à soma das coordenadas em um ponto, então

ρ = x + y  

E pediu para calcularmos a sua massa. Como fazer isso?

A placa é plana, então considerando uma densidade superficial ρ , a massa total vai ser

m = ∫ ρ d A

E qual é esse d A ? É a região descrita no enunciado: primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Agora com todos esses dados, a ideia é montar a integral e #partiu resolver!

Bora começar?

Passo 2

Em coordenadas polares a região do primeiro quadrante entre as curvas

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

Fica

1 < r < 2

0 < θ < π 2

Tudo bem até aqui? O diferencial de área em coordenadas polares fica

d A = r   d r   d θ

E a densidade

ρ = x + y = r cos ⁡ θ + s e n θ

Tranquilo?

Vamos montar nossa integral de massa

m = ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ + s e n θ . r   d r   d θ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ + s e n θ d θ ∫ 1 2 r 2   d r

Beleza? Podemos separar assim pois parte do integrando só depende de r e outra parte só depende de θ , e os limites de integração são constantes

Passo 3

Agora é #partiu resolver! Vamos resolver as duas ao mesmo tempo

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ + s e n θ d θ ∫ 1 2 r 2   d r = s e n θ - cos ⁡ θ 0 π / 2   .   r 3 3 1 2

Beleza? E agora aplicar os limites de integração em cada parte

= s e n π 2 - cos ⁡ π 2 - s e n 0 + cos ⁡ 0 . 2 3 3 - 1 3 3

E por fim vamos simplificar esse resultado ao máximo!

= 1 + 1 . 8 - 1 3 = 2 . 7 3 = 14 3

E é isso! Terminamos! Até a próxima!

Resposta

14 3

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}