Calcule a integral

∫ ∫ D   y 3   d A  

Onde D = x , y : x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ,   y ≥ 0 .

Passo 1

Fala turminha, tudo em cima? Bora lá resolver essa questão. Ela pode parecer fácil e difícil ao mesmo tempo. Fácil porque tem uma integral ali que parece simples né? Apenas um y 3 inofensivo. Porém, a parte chata dela está nesse D . Vamos dar nome aos bois então. Esse D , é um domínio. E é justamente esse domínio que vai limitar a nossa região de integração. Mas agora vamos olhar pra equação que ele nos entrega pra gente como domínio:

D = x , y : x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ,   y ≥ 0 .

No próximo passo a gente abre essa coisa enorme aí 😊

Passo 2

Vocês sabem como a gente lê isso? Vou simplificar pra vocês: O domínio da nossa função está limitado (dentro do plano ( x , y ) ) por:

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

E por:

y ≥ 0

Hm... como a gente vê isso graficamente? Bem, a primeira função me lembra muito o formato de uma elipse. No gráfico, ela fica da seguinte forma:

Que fofinha

y ≥ 0

Isso quer dizer que representa somente a parte positiva (no eixo y ), portanto, vamos considerar somente a parte azul escura do gráfico:

Passo 3

Belezinha, demos nome aos bois. Agora vamos traduzir esses intervalos que a integral nos deu e m   d A para d x   d y . Logo,

∫ ∫ y 3 d x   d y → x 2 + 4 y 2 ≤ 1

Isolando x , para encontrarmos o intervalo de d x limita a nossa elipse:

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

x ≤ 1 - 4 y 2

Como é o módulo de x , entendemos que os limites de integração são:

x = 1 - 4 y 2

x = - 1 - 4 y 2

Daí, podemos escrever dessa forminha mais formal:

- 1 - 4 y 2 ≤ x ≤ 1 - 4 y 2

Passo 4

Respira aí que tamo quase lá! Agora que temos os limites de integração em x , precisamos achar os limites de integração em y . Mas se você tiver o olho de tandera, a gente já achou esses limites quando desenhamos nossa elipse:

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

Para acharmos os limites de y , basta calcular os intervalos da elipse quando x = 0 , que é o centro da elipse. Logo:

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

0 2 + 4 y 2 ≤ 1

y 2 ≤ 1 4

y ≤ 1 2 = 1 2

Logo, eixo y está limitado por 0 e por ½ .

Passo 5

Armando nossa integral, temos então:

∫ ∫ D   y 3   d A → ∫ - 1 - 4 y 2 1 / 2 + 1 - 4 y 2 1 / 2 d x ∫ 0 + 1 / 2 y 3   d y

Agora é cair pra cima das integrais! Resolvendo a primeira, por definição temos que:

∫ - a + a d x = 2 a   d a

Portanto:

∫ - 1 - 4 y 2 1 / 2 + 1 - 4 y 2 1 / 2 d x = 2 ⋅ 1 - 4 y 2 1 2 d y

Levando isso dentro da segunda integral em d y :

∫ 0 + 1 / 2 y 3   2 ⋅ 1 - 4 y 2 1 2   d y

Agora é resolver esse monstrinho! Já indo pra resolução pra não perdermos muito tempo, temos que:

∫ 0 + 1 / 2 y 3   2 ⋅ 1 - 4 y 2 1 2   d y = 1 60   U . V

Resposta

1 60 U . V

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