USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 9b
Calcule as integrais:
b) , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região , que é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências e . Seria mais ou menos isso aqui:
Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:
Esse é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Além disso, é o raio das circunferências e é o nosso ângulo. Com base nessas equações conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.
Vamos lá!
Passo 2
Repare que nossa região tá variando de uma circunferêncida de raio até uma circunferência de raio , então temos:
Além disso, a região é limitada apenas no primeiro quadrante, então nosso ângulo vai de até , ou seja:
Assim, usando e , conseguimos escrever nossa integral na forma:
Então, integrando primeiro em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 3
Agora, antes de integrar em relação a , vamos usar a relação trigonométrica , pra facilitar nossas contas. Assim, vamos ter:
Integrando em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Como e , temos:
Ou, simplificando:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉