Utilize coordenadas polares para calcular
Onde
Passo 1
Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Queremos a parte com do círculo de raio :
Temos, então, essa região cinza.
Passo 2
Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares.
Como o raio vai desde a reta até a circunferência de raio , vamos fazer a mudança polar na reta:
Logo
Agora, para achar o intervalo de , precisamos descobrir onde a reta corta a circunferência, ou seja, onde:
Isso ocorre se
Logo, temos .
Passo 3
Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:
Temos, então:
Passo 4
Agora é só resolver isso aí: