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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1c

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

∬ R x 2 + y ² d A

Em que R é a região limitada pelo triângulo de vértices 0,0 ,   3,0   e   ( 3,3 ) .

Passo 1

Bom, para começar galera, a gente precisa encontrar a região limitada. Para isso, vamos marcar no plano cartesiano os pontos e delimitar a região. Vamos dizer que:

A = 0,0

B = 3,0

C = ( 3,3 )

Show, região delimitada. E por meio dela vamos determinar os intervalos de integração.

Passo 2

Vamos começar encontrando os intervalos em relação a x :

Olhando para o nosso plano cartesiano e os pontos dele, vamos dizer que:

0 ≤ x ≤ 3

Passo 3

Agora vamos determinar o intervalo de integração em relação a y . Como a gente afirmou que o intervalo de x varia entre números, y vai variar entre funções. Então temos que achar as funções de cada reta ali.

Para começar, vamos determinar a função principal da reta AC.

y = m x + b

Baseado nos pontos A e C :

A → 0 m + b = 0 C → 3 m + b = 3

A → b = 0 C → m = 1

Logo:

y = x

Com isso, o intervalo de integração de y :

0 ≤ y ≤ x

Passo 4

Agora que conseguimos achar os intervalos de integração, podemos substituir na integral:

∬ R x 2 + y ² d A = ∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x

Show, mas o enunciado fala com a gente para usar coordenadas polares, então teremos que fazer essa alteração. Para isso, vamos usar:

x = r c o s ( θ )

y = r s e n ( θ )

J = r

Substituindo:

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = ∫ 0 3 ∫ 0 x r ² c o s ² ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) r d θ d r

Vamos começar encontrando θ . Para isso, temos que achar o ângulo que a reta forma com o eixo x

t a n θ = 3 3 = 1 → θ = 45 º = π 4

Logo

0 ≤ θ ≤ π 4

Agora vamos encontrar o intervalo de r :

y = 0 → r s e n θ = 0

r = 0

Olhando para o outro ponto agora

y = 3 → r s e n θ = 3

r = 3 s e n θ = 3 c o s s e c ( θ )

Logo o intervalo:

0 ≤ r ≤ 3 c o s s e c ( θ )

Substituindo a integral:

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ 0 3 c o s s e c ( θ ) r ² c o s ² ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) r d r d θ

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ 0 3 c o s s e c ( θ ) r ² d r d θ

Agora podemos resolver:

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ 0 3 c o s s e c ( θ ) r ² d r d θ

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = 1 3 ∫ 0 π 4 ( r 3 ) 0 3 c o s s e c ( θ ) d θ

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = 9 ∫ 0 π 4 c o s s e c 3 θ d θ

Agora resolvendo a outra integral:

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = 9 ∫ 0 π 4 c o s s e c 3 θ d θ

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 x x 2 + y ² d y d x = 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1

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