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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 13b

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

b) ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2   d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada usando as coordenadas polares. Então, vamos precisar das equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Usando essas equações, vamos descobrir os nossos limites de integração em função de r e θ e transformar o nosso integrando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:

x 2 y 2 = r cos ⁡ θ 2 ∙ r sin ⁡ θ 2

= r 4     cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Temos:

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

Como x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , vamos ter:

r cos ⁡ θ ≤ 4 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 4 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Agora vamos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , fazendo:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ 4

r 2 ≤ 4

r ≤ 2

E esse raio é maior ou igual a zero. Então, já sabemos que o raio varia no intervalo:

0 ≤ r ≤ 2

Agora repare que temos:

0 ≤ y ≤ 2

E note também que nós estamos tratando de uma circunferência de raio 2 , certo? Então, nosso y tá variando de 0 até a borda da circunferência em y = 2 . Isso quer dizer que nosso ângulo θ vai variar de 0 até π 2 :

0 ≤ θ ≤ π 2

Também dá pra conferir isso usando y = r sin ⁡ θ e substituindo os extremos do intervalo, beleza?

Passo 4

Agora vamos montar nossa integral com os resultados dos passos anteriores:

∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2   d x d y → 2   ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ ∙ r d r d θ

O 2 ali na frente é pra calcular a integral da circunferência que vai de r = - 2 até r = 2 . A gente optou por escrever assim para não zerar nossa integral. Assim, temos:

= 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d r d θ

Então, integrando primeiro em relação a r :

2 ∫ 0 π / 2 r 6 6 0 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

2 ∫ 0 π / 2 2 6 6 - 0 6 6 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

= 2 ∫ 0 π 2 64 6 - 0 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d θ

= 2 ∙ 32 3 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Reescrevendo usando identidades trigonométricas:

64 3 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ ( 4 θ ) 8 d θ = 64 3 ∙ 1 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Agora integrando em relação a θ :

64 24 θ - 1 4 sin ⁡ ( 4 θ ) 0 π / 2 = 8 3 θ - 1 4 sin ⁡ ( 4 θ ) 0 π / 2

E aplicando os limites de integração em θ :

8 3 π 2 - 1 4 sin ⁡ 4 ∙ π 2 - 0 + 1 4 sin ⁡ 4 ∙ 0

= 8 3 π 2 - 0 - 0 + 0 = 4 π 6

= 4 π 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 π 3

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