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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2d

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : s o b   o   p a r a b o l ó i d e   z = x 2 + y 2   e   a c i m a   d o   d i s c o   x 2 + y 2 ≤ 25

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

P a r a b o l ó i d e : z = x 2 + y 2

D i s c o :   x 2 + y 2 ≤ 25

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . E ela vai ser a nossa parabolóide:

z = x 2 + y 2

Logo:

V = ∬ R x 2 + y 2 d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r c o s θ 2 + r s e n θ 2

x 2 + y 2 = r 2

Com isso:

V = ∬ R x 2 + y 2 d x d y = ∬ R r 3 d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

Como nós queremos a região acima do disco, vamos usar o raio dele como referência, então:

x 2 + y 2 ≤ 25

Então:

0 ≤ r ≤ 5

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que vai completar uma circunferência completa, então

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = ∬ R r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 5 r 3 d r d θ = 1 4 r 4 0 5

∫ 0 5 r 3 d r d θ = 625 4

Ficando agora

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 4 ∫ 0 2 π d θ

Vamos integrar a última:

V = 625 4 ∫ 0 2 π d θ = 625 4 θ 0 2 π

V = 625 4 ∫ 0 2 π d θ = 625 π 2

Resposta

625 π 2

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