Calcule a massa de uma lâmina delimitada por , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a .
Passo 1
A gente sabe que a massa vai ser a integral dupla da densidade:
Mas ele não dá a densidade diretamente, vamos ter que encontrá-la. O enunciado diz que a densidade é proporcional a distância ao ponto , que a gente calcula assim:
Então a densidade fica:
Onde é só uma constante de proporcionalidade.
E nossa integral fica:
Passo 2
Agora temos que entender o domínio . Temos uma circunferência centrada em de raio , então podemos tentar coordenadas polares deslocadas pra descrever a região, fazendo:
E assim, como temos uma circunferência, vamos ter simplesmente , .
E nossa integral fica:
Parece um pouco complicada, mas muita coisa vai simpleficar aí, vamos ver!
Passo 3
Vamos ter:
Resposta
