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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 15

Use coordenadas polares para resolver a integral ∫ 0 2 ∫ x 8 - x 2 1 5 + x 2 + y 2 d y d x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada, usando as coordenadas polares. Olhando para os intervalos de integração, a gente vê que y varia da reta y = x até a a curva y = 8 - x 2 , que é a parte positiva da circunferência de centro na origem e raio 8 . E a gente vê que x varia de 0 até 2 . Então, nossa região de integração seria essa daqui:

Mas como nós vamos usar as coordenadas polares, vamos precisar das equações de transformação:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Usando essas equações, vamos descobrir nosso novo integrando, com seus respectivos limites de integração, e calcular a integral em relação a r e θ .

Vamos lá!

Passo 2

Nós vimos no passo 1 que:

x ≤ y ≤ 8 - x 2

Pegando a parte da direita do intervalo e substituindo as equações de transformação para coordenadas polares, vamos ter:

y ≤ 8 - x 2

r sin ⁡ θ ≤ 8 - r 2 cos 2 ⁡ θ

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ 8 - r 2 cos 2 ⁡ θ

r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 8

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ 8

r 2 ≤ 8

→ r ≤ 8

Olhando pra figura do passo 1 , a gente percebe que o nosso raio varia de 0 até 8 , também de acordo com o resultado que encontramos agora. Então, temos:

0 ≤ r ≤ 8

Além disso, no lado esquerdo do intervalo, nós temos a reta y = x , que vai ter um ângulo de inclinação θ = π 4 . Então, nosso ângulo vai variar assim:

0 ≤ θ ≤ π 4

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha no nosso integrando, 1 5 + x 2 + y 2 . Passando pra coordenadas polares, vamos ter:

1 5 + x 2 + y 2 = 1 5 + r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

= 1 5 + r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = 1 5 + r 2

Agora podemos montar nossa integral:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 8 1 5 + r 2 r   d r d θ = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 8 r 5 + r 2   d r d θ

Integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 π / 4 1 2 ln ⁡ ( 5 + r 2 )   0 8 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ 0 π / 4 1 2 ln ⁡ ( 5 + 8 2 ) - 1 2 ln ⁡ ( 5 + 0 2 )   d θ

= 1 2 ∫ 0 π 4 ln ⁡ 13 - ln ⁡ 5 d θ

Usando as propriedades de logaritmo e colocando a constante do lado de fora da integral:

= 1 2 ln ⁡ 13 5 ∫ 0 π / 4 d θ

Agora integrando em relação a θ :

1 2 ln ⁡ 13 5 θ 0 π / 4

E aplicando os limites de integração em θ :

1 2 ln ⁡ 13 5 π 4 - 0

= π 8 ln ⁡ 13 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 8 ln ⁡ 13 5

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