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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

  1. Calcule a integral abaixo

∬ R cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Onde R   é a região contida no primeiro quadrante do plano cartersiano x y que está dentro do círculo de centro 0,0 e raio 2 e fora do círculo de mesmo centro e raio 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos um integralzinha para resolver, porém ele não deu os limites de integração. Só sabemos que ela está limitada na região R , que está dentro do círculo de centro 0,0 e raio 2 e fora do círculo de mesmo centro e raio 1 .

Então vamos começar desenhando essa região para encontrar os limites de integração.

Como queremos apenas o primeiro quadrante, a nossa região é parte preenchida do circulo na área vermelha.

Agora vamos achar os nossos limites de integração e montar a intregal.

Passo 2

Repara que x varia de + 1 até + 2 (seta horizontal) e y de + 1 até + 2 também (seta vertical).

Opaaa! Com isso, nós temos os nosso limites de integração e podemos montar a nossa integral,

∫ + 1 + 2 ∫ + 1 + 2 cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Agora vamos resolver a nossa integral!

Passo 3

Toda integral dupla nós sempre resolvemos de dentra para fora. Ou seja, primeiro vamos integrar em função de x e depois integraremos em função de y .

∫ + 1 + 2 ∫ + 1 + 2 cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Outra coisa, galerinha, essa integral é um pouco complicada de resolver essa forma. Então aqui vai uma dica para vocês: sempre que a nossa região tiver o formato de uma circunferência e tivermos na nossa função um x 2 + y 2 , vamos usar coordenadas polares.

Pelas coordenadas polares, nós integramos em função de r e θ . Então vamos achar os novos limites integração

Repara que θ varia de 0 até π 2 e raio r de 1   até 2 .

Além disso, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Logo,

x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Pela identidade trigonométrica, temos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 . Ou seja,

x 2 + y 2 = r 2

Agora vamos montar a integral!

Passo 4

Galerinha! Para quem achou que já podemos montar a nossa integral: CUIDADO! Sempre que fizermos uma mudança de coordenada, temos que calcular o nosso Jacobiano.

A gente vai precisar calculá-lo usando a fórmulinha do jacobiano J :

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Vamos substituir nossas expressões para x e y ali:

J = ∂ r cos ⁡ θ ∂ r ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ ∂ r   s e n   θ ∂ r ∂ r   s e n   θ ∂ θ

J = cos ⁡ θ - r   s e n θ s e n   θ r   c o s   θ = r   c o s 2 θ + r   s e n 2 θ = r [ c o s 2 θ + s e n 2 θ ]

J = r

Agora sim podemos montar a nossa integral!

Passo 5

A gente tinha,

∬ R cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Mudamos o integrando para

∬ R r   cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Aí a gente substitui as expressões da mudança de variáveis nesse integrando para que ele fique só em r e θ . Vamos usar x 2 + y 2 = r 2

∬ R   r cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y =   ∬ R r  cos ⁡ r 2 d x d y

Para finalizar, a gente coloca nossos extremos de integração:

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Como as duas variáveis estão entre números, não importa a ordem em que vamos montar. Vamos escolher integrar primeiro em relação a r , aí a integral de dentro tem os extremos de r e o diferencial d r , e a integral de fora tem os extremos de θ e o diferencial d θ :

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ r 2 d r d θ

Agora bora resolver a integral!

Passo 6

Toda integral dupla nós sempre resolvemos de dentra para fora. Ou seja, primeiro vamos integrar em função de r e depois integraremos em função de θ .

Sendo assim, a primeira integral que temos que resolver é

∫ 1 2 r cos ⁡ r 2 d r

Para isso, vamos usar uma mudança de variável,

u = r 2

d u = 2 r d r → d u 2 = r d r

Logo,

∫ r cos ⁡ r 2 d r = ∫ cos ⁡ u d u 2

E

∫ cos ⁡ u d u 2 = - 1 2 sin ⁡ u

Voltando para variável r , ficamos com

∫ r cos ⁡ r 2 d r = - 1 2   sin ⁡ r 2

Colocando os limites de integração, ficamos com

∫ 1 2 r cos ⁡ r 2 d r = - 1 2   sin ⁡ r 2 | 2 1 = - 1 2 sin ⁡ 2 2 - sin ⁡ 1 2 = sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 2

Agora vamos para segunda integral!

Passo 7

Ficamos com

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ r 2 d r d θ = ∫ 0 π 2 sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 2 d θ

= sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 2 θ | π 2 0 = sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 2 π 2

= π sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 4

Resposta

π sin ⁡ 1 - sin ⁡ 4 4

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