Calcule a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - x 2 1 x 2 + y 2 3 / 2 d y d x

Passo 1

Bom, não dá pra integrar isso aí de cara, não é? Temos que mexer em alguma coisa nessa integral.

Os termos quadráticos no denominador da integral são um indicativo de coordenadas polares podem ser uma boa.

Vamos fazer, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

J = r

Passo 2

Vamos ver que região é essa aí, então.Temos 0 ≤ y ≤ 2 x - x 2 , ou seja, y varia desde 0 até a parte positiva da equação:

y 2 = 2 x - x 2

x 2 + y 2 - 2 x = 0

Completando esse quadrado, temos:

x - 1 2 + y 2 = 1

Essa é uma circunferência centrada em ( 1,0 ) . Podemos ver, também, que x varia desde 1 até 2 . Juntando essas informações, podemos esboçar a seguinte região:

Pela figura, vemos que r varia desde a reta x = 1 até a circunferência, que, em coordenadas polares, será:

( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r   s e n   θ ) 2 - 2 r cos ⁡ θ = 0

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Para a reta, temos:

r cos ⁡ θ = 1

r = 1 cos ⁡ θ

Logo, 1 / cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ . Podemos ver, pelo esboço do gráfico indicando a região de integração, que 0 ≤ θ ≤ π / 4 . Então, podemos escrever a região como:

D = r , θ 0 ≤ θ ≤ π 4 ; 1 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

A integral passa a ser, então:

∫ 0 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 3 / 2 r d r d θ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 r 2 d r d θ =

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a r :

= - ∫ 0 π / 4 1 r 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ =

= - ∫ 0 π 4 1 2 c o s θ - cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π / 4 cos ⁡ θ - 1 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π / 4 cos ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ d θ =

Passo 4

Agora em relação a θ :

= s e n   θ - 1 2 ln ⁡ | t g   θ + sec ⁡ θ | 0 π / 4 =

= 2 2 - 1 2 ( ln ⁡ 1 + 2 - l n ⁡ | 0 + 1 | ) =

= 2 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1 =

E como o ln ⁡ 1 = 0 , teremos finalmente:

= 2 2 - 1 2 ( l n ⁡ ( 1 + 2 )

Resposta

2 2 - 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 )

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}