Sejam a, b ∈ R . Transformar em coordenadas cartesianas e descrever a seguinte curva, dada em coordenadas polares por

r = f(θ) = a * cos(θ) + b * sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente transformar a equação que tá em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Pra isso, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

r 2 = x 2 + y 2

Assim, vamos isolar as variáveis que estão presentes na nossa equação na forma polar e vamos obter algo em função de x e y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando o cosseno na equação x = r cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = x r

Fazendo a mesma coisa com o seno em y = r sin ⁡ θ , temos:

sin ⁡ θ = y r

Substituindo as duas relações em r = a cos ⁡ θ + b sin ⁡ θ , vamos obter:

r = a x r + b y r

r = a x + b y r

Isolando r , temos:

r 2 = a x + b y

Substituindo r 2 = x 2 + y 2 na equação, temos na forma cartesiana:

x 2 + y 2 = a x + b y

Essa equação descreve uma circunferência, como a gente pode verificar plotando o gráfico de r = a cos ⁡ θ + b sin ⁡ θ para 0 ≤ θ ≤ π :

Como a e b são números reais, dependendo do valor que essas variáveis assumem nossa circunferência vai se deslocar horizontal ou verticalmente no gráfico, mas nunca deixa de ser uma circunferência.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x 2 + y 2 = a x + b y

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