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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFRJ. Cálculo 3. PF. 2022.1. Questão 1.

Calcule a integral

∫ ∫ D arctan ⁡ y x d A

onde a região D = x , y ∈ R 2 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 ,   0 ≤ y ≤ x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma integral da função arctan ⁡ y x dentro da região D , onde é limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e as retas y = 0 e y = x .

Lembra que quando a região de integração tem uma circunferência certamente temos que usar coordenadas polares para resolver a integral? 😁

Como as circunferências em D estão centradas na origem, não precisamos transladar nossas coordenadas.

Convertendo nossas coordenadas para coordenadas polares, temos que fazer as seguintes mudanças

x = r c o s θ y = r s e n θ

Vamos começar nosso probleminha? 😉

Passo 2

Desenhando as curvas que limitam a região D , temos

Assim podemos ver que a variação angular é de θ = 0 a θ = π / 4

Com isso, nossa função de integração será

arctan ⁡ r s e n θ r c o s θ → arctan ⁡ tan ⁡ θ

Como o a r c t a n é o inverso da t a n e estamos no primeiro quadrante, podemos escrever

arctan ⁡ tan ⁡ θ = θ

O ângulo entre as retas y = 0 e y = x é o ângulo que divide o primeiro quadrante em duas partes.

Já temos os limites de D para θ , 0 ≤ θ ≤ π / 4 .

Agora analisando as equações de circunferências

x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 = 9  

Sabemos que a equação de uma circunferência é x 2 + y 2 = r 2 , então podemos observar que a variação de r é 2 ≤ r ≤ 3 .

Com essas informações podemos escrever nossa integral como (lembrando que nosso jacobiano é r )

∫ 0 π 4 ∫ 2 3 θ r d r d θ

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Primeiro integrando com relação a r pelo método de integração polinomial

∫ θ r d r = θ r 1 + 1 1 + 1 = θ r 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 2 3 θ r d r = θ 3 2 2 - θ 2 2 2 = 5 θ 2

Com base nesse resultado integramos com relação a θ pelo mesmo método anterior

∫ 5 θ 2 d θ = 5 θ 1 + 1 1 + 1 = 5 θ 2 2

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 π 4 5 θ 2 d θ = 5 π 4 2 2 - 5 0 2 2

Fazendo a divisão das frações:

5 2 π 2 16 2 = 5 2 π 2 16 ∙ 1 2 = 5 π 2 64

Ou seja, a integral de arctan ⁡ y x dentro da região D é 5 π 2 64 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ ∫ D arctan ⁡ y x d A = 5 π 2 64

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