Calcule , em que é a região acima do eixo e dentro da circunferência . Esboce a região de integração.
Passo 1
Vamos começar esboçando a região de integração, temos meia volta de um círculo de raio centrado na origem:
Passo 2
Beleza, agora vamos escrever matematicamente essa região. Como temos um círculo, vamos usar coordenadas polares:
A região para a ser então (pois temos meia volta trigonométrica) e , pois o raio varia desde a origem até a circunferência de raio .
Passo 3
Fazendo essa substituição na integral, temos:
Passo 4
Para integrar isso aí, vamos começar fazendo:
Substituindo na integral:
Integrando isso aí:
Agora em relação a :