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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2a

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : r e g i ã o   i n t e r i o r   à   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 25   e   e x t e r i o r   a o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 9

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada:

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . E ela vai ser a nossa superfície teto. No caso, vai ser a da nossa esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

z = ± 25 - x 2 - y ²

Logo:

V = 2 ∬ R 25 - x 2 - y ² d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

25 - x 2 - y ² = 25 - r c o s θ 2 - r s e n θ 2

25 - x 2 - y ² = 25 - r ²

Com isso:

V = 2 ∬ R 25 - r ² r d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

Reparem que o nosso raio varia de 3 a 5 , então:

3 ≤ r ≤ 5

Agora vamos encontrar θ . Como fazemos uma circunferência completa,

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = 2 ∬ R 25 - r ² r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 3 5 25 - r ² r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 3 5 25 - r ² r d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 3 5 25 - r ² r d r = - 1 3 25 - r 2 3 2 3 5

∫ 3 5 25 - r ² r d r = 64 3  

Ficando agora

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 3 5 25 - r ² r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π 64 3 d θ = 128 3 ∫ 0 2 π d θ

V = 128 3 ∫ 0 2 π d θ = 128 3 θ 0 2 π

V = 256 π 3

Resposta

V = 256 π 3

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