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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 4 – Exercício 29

(Capítulo 15.4 – Exercício 29) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Passo 1

Faaaala meus queridos

Se liga só, nesse exercício temos uma integral duplinha:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

E aí vamos calcular essa integral usando a conversão pra coordenadas polares, feshow?

Lembrando que nas coordenadas polares, vamos fazer

x = r . cos ⁡ θ

y = r . s e n   θ

E o Jacobiano dessa transformação é J = r

Então boraaa

Passo 2

Temos a integral

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Fazendo a substituição para coordenadas polares, vamos ter: x = r . cos ⁡ θ

y = r . s e n   θ

E portanto

x 2 + y 2 = r . cos ⁡ θ 2 + r . s e n   θ 2 = r 2 . c o s 2 θ + s e n 2 θ = r 2 . 1 = r ²

Vamos reparar também que, pelos intervalos de integração, - 3 ≤ x ≤ 3 e y ≥ 0 , então teremos 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π . Ou seja, convertendo para coordenadas polares, nossa integral será:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ

Então bora resolver essa integral

Passo 3

Show! Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Vamos integrar separadamente cada uma:

∫ 0 π d θ = θ 0 π

E:

∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Nesta integral, vamos realizar substituição:

r 2 = u   d u ,   l o g o  

∫ 0 3   ( s e n u / 2 )   = - cos ⁡ u 2 0 3

Substituindo novamente,

∫ 0 3   ( s e n u / 2 )   = - cos ⁡ r ² 2 0 3

Agora, vamos retornar na equação inicial, tendo:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = θ 0 π - cos ⁡ r 2 2 0 3

Então:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = π   . 1 2 ( - cos ⁡ 9 + cos ⁡ 0 ) = π 2 1 - cos ⁡ 9

E é isso aíí

Resposta

π 2 1 - cos ⁡ 9

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