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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 3

Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla ∬ D ( x 2 + y 2 ) d A em que D é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas x = 0 ,   y = 0 e pela circunferência x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∬ D ( x 2 + y 2 ) d A

E pediu para calcular essa integral usando coordenadas polares. E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando a região dada temos

x 2 + y 2 = 1

x = 0 ,   y = 0

No primeiro quadrante!

E esboçando essa região, temos isso aqui

r vão de 0 até 1 e em θ de 0 até π 2 (que é a região do primeiro quadrante)

Lembrando que o diferencial em polares é

d A = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∬ D ( x 2 + y 2 ) d A

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

x 2 + y 2 = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2

Bora montar essa integral!

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 2 r   d r   d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   d r   d θ

Integrando em r e substituindo os limites de integração:

∫ 0 π 2 r 4 4 0 1 d θ = ∫ 0 π 2 1 4 d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ !

Assim temos

= 1 4   θ 0 π 2 = 1 2 . π 2 = π 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

π 4

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Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
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