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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 5

Usando coordenadas polares calcule a integral dupla

∬ D e x 2 + y 2 d A

Em que D é a região no primeiro quadrante no plano x y , acima da reta y = x e abaixo da circunferência x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∬ D e x 2 + y 2 d A

E pediu para calcular essa integral usando coordenadas polares. E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando a região dada temos

x 2 + y 2 = 4 ( a b a i x o )

y = x   ( a c i m a )  

No primeiro quadrante!

E esboçando essa região, temos isso aqui

r vão de 0 até 2 e em θ de π 4 (da reta y = x ,   bissetriz dos quadrantes ímpares) até π 2 (que é a região do primeiro quadrante)

Lembrando que o diferencial em polares é

d A = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∬ D e x 2 + y 2 d A

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ 2

π 4 ≤ θ ≤ π 2

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

x 2 + y 2 = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2

Bora montar essa integral!

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 e r 2 r   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 e r 2 r   d r   d θ

Integrando em r e substituindo os limites de integração:

u = r 2 → d u = 2 r   d r

Quando r = 0 ,   u = 0 , quando r = 2 ,   u = 4 :

∫ π 4 π 2 e u 2 0 4 d θ = ∫ π 4 π 2 e 4 2 - 1 2 d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ !

Assim temos

= e 4 2 - 1 2   θ π 4 π 2 = e 4 2 - 1 2 . π 2 - π 4

Simplificando

= e 4 - 1 π 8

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

e 4 - 1 π 8

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