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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 9e

Calcule as integrais:

e) ∫ ∫ D e - x 2 - y 2 d x d y , onde D é a região limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla ∫ ∫ D e - x 2 - y 2 d x d y sobre a região D , que é a região limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y . Plotando a nossa região no plano x y , temos:

Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Esse J é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Com base nisso, conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.

Vamos lá!

Passo 2

Observe que o enunciado nos deu a curva x = 4 - y 2 , que é a equação de uma parte do círculo x 2 + y 2 = 4 , pra valores de x positivos. Por isso, a nossa região é aquela pintada em amarelo no passo 1 . A gente também consegue perceber que o raio dessa circunferência é r = 2 , tanto pelo gráfico quanto pela equação, e que o ângulo desse semicírculo varia de - π / 2 até π / 2 . Então, temos:

0 ≤ r ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Assim, usando x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , no integrando ( e - x 2 - y 2 ) , vamos ter:

e - x 2 - y 2 = e - r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = e - r 2

E conseguimos escrever nossa integral na forma:

∫ ∫ D e - x 2 - y 2 d x d y = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e r 2   r   d r d θ

Passo 3

Pra calcular nossa integral primeiro em relação a r , já que ela não sai diretamente, vamos precisar fazer uma substituição, chamando u = r 2 . Assim:

d u = 2 r   d r →   d u 2 = r   d r

Substituindo, temos:

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 1 2 e - u   d u   d θ

Então, integrando em relação a u e depois voltando pra nossa variável original, vamos ter:

∫ - π / 2 π / 2 - 1 2 e - u 0 2 d θ = ∫ - π / 2 π / 2 - 1 2 e - r 2 0 2 d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ - π / 2 π / 2 - 1 2 e - 4 + 1 2 e - 0 d θ = - 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 e - 4 - 1 d θ

Passo 4

Agora integrando em relação a θ , vamos ter:

- 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 e - 4 - 1 d θ = - 1 2 e - 4 - 1 θ - π / 2 π / 2

Aplicando os intervalos de integração em θ :

- 1 2 e - 4 - 1 π 2 - - π 2

= - 1 2 e - 4 - 1 ∙ 2 π 2  

= π 2 1 - e - 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 2 1 - e - 4

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