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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Questão 4: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:

∬ R   cos ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Se o problema nos pediu para passar a integral para coordenadas polares é isso que devemos fazer. Lembre-se que essa mudança faz:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

O Jacobiano dessa mudança é:

J = r

Outra equação que é muito linda é que se você somar os quadrados dessas coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2       ( e q u a ç ã o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a )

Assim...

∬ R   cos ⁡ x 2 + y 2 d A = ∬ R r θ   cos ⁡ r 2 ⋅ J d r d θ =

∬ R r θ   cos ⁡ r 2 r   d r d θ

Aqui eu só tenho duas observações mesmo que preciso que você fique atento quando fazemos essa mudança: primeiro que devemos multiplicar a função de integração pelo Jacobiano.

Segundo que como as variáveis de integração mudou, costumamos mudar também o nome da região de R para R r θ . Mas isso, repito, é apenas uma mudança de nome para indicar que agora a região deve ser representada em coordenadas polares.

Passo 2

Bem, mas o nosso próximo passo aqui é justamente descrever essa região de integração. Do enunciado tiramos que a nossa região R é o semicírculo de raio 3 ...

Lembrando que θ varia sempre do eixo x girando no sentido anti-horário e o raio, enquanto o raio varia da origem até a curva...

Podemos falar aqui que temos que ter um θ varaiando de 0 a 180 ° :

0 ≤ θ ≤ π

Enquanto o nosso r varia de 0 até o raio máximo que é o próprio raio da circunferência:

0 ≤ r ≤ 3

Assim:

∬ R r θ   cos ⁡ r 2 r   d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 3 cos ⁡ r 2 r   d r d θ

Bora calcula-la?

Passo 3

Vamos começar a calcular a integral em relação a r fazendo uma mudança...

r 2 = u                 →

d u = 2 r   d r       o u           r d r = d u 2

Não se esquecendo dos limites...

r = 0             →                 u = 0 2 = 0

r = 3             →                 u = 3 2 = 9

∫ 0 π ∫ 0 3 cos ⁡ r 2 r   d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 9 cos ⁡ u d u 2 d θ =

1 2 ∫ 0 π   sin ⁡ u   0 9 d θ = 1 2 ∫ 0 π sin ⁡ 9 - sin ⁡ 0 d θ =

sin ⁡ 9 2 ∫ 0 π d θ =

Integrando esse cara aí...

sin ⁡ 9 2 ⋅ π

Resposta

sin ⁡ 9 2 ⋅ π

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