Envolvendo coordenadas polares, calcule:

a) ∬ D ln ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região D , que é formada por uma circunferência de raio 1 , x 2 + y 2 = 1 , e uma circunferência de raio 2 , x 2 + y 2 = 4 . Olha só:

Então já sabemos que nosso raio varia no intervalo [ 1 ,   2 ] . Além disso, como o enunciado nos diz que a região está limitada apenas no primeiro quadrante, nosso ângulo θ varia no intervalo 0 , π 2 . Agora vamos precisar das equações de transformação para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Usando essas equações, vamos descobrir nosso novo integrando e calcular a inegral em relação a r e θ .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:

ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = ln ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

= ln ⁡ ( r 2 )

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Vimos no passo 1 que:

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Então, vamos montar nossa integral:

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ln ⁡ ( r 2 ) r   d r d θ

Integrando primeiro em relação a r , usando a integração por partes, temos:

∫ 0 π / 2 r 2 ln ⁡ r - r 2 2 1 2 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ 0 π / 2 4 ln ⁡ ( 2 ) - 2 - ln ⁡ 1 + 1 2 d θ

= ∫ 0 π / 2 4 ln ⁡ ( 2 ) - 3 2   d θ = 4 ln ⁡ ( 2 ) - 3 2 ∫ 0 π / 2 d θ

Agora integrando em relação a θ :

4 ln ⁡ ( 2 ) - 3 2 θ 0 π / 2

E aplicando os limites de integração em θ :

4 ln ⁡ 2 - 3 2 π 2 - 0

= π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

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