UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 14a
Envolvendo coordenadas polares, calcule:
a) , onde é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região , que é formada por uma circunferência de raio , , e uma circunferência de raio , . Olha só:
Então já sabemos que nosso raio varia no intervalo . Além disso, como o enunciado nos diz que a região está limitada apenas no primeiro quadrante, nosso ângulo varia no intervalo . Agora vamos precisar das equações de transformação para coordenadas polares:
Usando essas equações, vamos descobrir nosso novo integrando e calcular a inegral em relação a e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Passo 3
Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Vimos no passo que:
Então, vamos montar nossa integral:
Integrando primeiro em relação a , usando a integração por partes, temos:
Aplicando os intervalos de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉