Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Exercício 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Enunciado

James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 7ª edição americana. Capítulo 15 Seção 4 Problema 4.

(Cap 15.4 – Ex 4) Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é uma função qualquer contínua em .

Passo 1

Falaiii gurizadaa, baum por dimais da conta?

Simbora pra mais um?

A questão pede identificar que tipo de sistema de coordenadas é melhor para calcular a integral sobre a região dada e escrever a integral.

Como temos coroas circulares na região de integração, vamos usar as coordenadas polares.

Note que a região vai da circunferência de raio até a circunferência de raio , de modo que .

Além disso, como a região só cobre o primeiro e quarto quadrantes, devemos ter .

Vamos considerar o seguinte gráfico

Passo 2

Assim, escrevendo a integral em coordenadas polares e lembrando do jacobiano:

Resposta

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .

Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]

Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y

Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .

Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}