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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 9

Calcule a seguinte integral

∬ D e - x 2 - y 2 d A

Em que D é a região do plano limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∬ D e - x 2 - y 2 d A = ∬ D e - x 2 + y 2 d A

E pediu para calcular essa integral e aqui nós vamos usar coordenadas polares (viu aquele x 2 + y 2 e a região é circular, é batata! Polares!). E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando a região dada temos

x 2 + y 2 = 4

x = 0  

E esboçando essa região, temos isso aqui

Percebemos que a região é um setor circular! Os limites em r vão de 0 até 2 (equação do círculo de raio 2 ) e em θ de - π 2 até π 2

Lembrando que o diferencial de área em polares é

d A = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∬ D e - x 2 + y 2 d A

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

x 2 + y 2 = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2

Bora montar essa integral!

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r   d r   d θ

Integrando em r e substituindo os limites de integração:

u = -   r 2 → d u = - 2 r   d r

Quando r = 0 ,   u = 0 , quando r = 2 ,   u = - 4 :

∫ - π 2 π 2 - e u 2 0 - 4 d θ = - 1 2 ∫ - π 2 π 2 e - 4 - 1 d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ !

Assim temos

- 1 2 ∫ - π 2 π 2 e - 4 - 1 d θ = 1 2 1 - e - 4 ∫ - π 2 π 2 d θ

= 1 2 1 - e - 4   θ - π 2 π 2 = 1 - e - 4 2 . π 2 + π 2

Simplificando

= 1 - e - 4 2 π

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 - e - 4 2 π

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