Calcule a integral

∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d A

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O exercício nos pede para calcular uma integral que, eu, você ou alguém desatento poderíamos passar uma eternidade tentando resolver. Acontece que quando estamos fazendo integrais, especialmente as confusas, é bacana tentarmos olhar a integral por um outro ponto de vista, e isso é basicamente tentarmos visualizar a integral por outras coordenadas.

Mas antes, é bom termos uma noção das variáveis de integração. No nosso caso temos d A , mas é d x   d y   ou d y   d x ? Nesse caso é d y   d x , porque a o primeiro limite de integração depende de x.

Para isso, é interessante que façamos um esboço da região de integração, e temos algo nessa pegada:

Veja que temos uma região bidimensional e circular. Qual coordenada seria interessante aplicarmos?

As coordenadas polares, certo? Veja como elas são:

Onde agora as regiões de integração são r e θ , então só temos que analisar a distância r até a origem e em quais regiões o ângulo θ circula.

ATENTE-SE: quando fazemos uma troca de coordenadas, lembre-se que estamos olhando o problema por outra visão, então deve haver um aplicador que “ajeite” essa troca de coordenadas, ele é chamado de Jacobiano. É calculado, para o caso das coordenadas polares, dessa forma:

Então, vamos colocar um r multiplicando dentro da integral.

“Então ok, sabemos que podemos olhar uma integral de diversas coordenadas. E uma vez achada a melhor coordenada, vamos aplicar e verificar os novos limites de integração para essa coordenadas, sem nos esquecermos do Jacobiano, certo, Mogli?” Isso mesmo, carinha.

Com a faca e o queijo em mãos, bora lá.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, veja pela imagem que:

O raio vai de 0 até 2, e que o ângulo θ percorre de - π 2 até π 2 . Assim, resumindo:

0 ≤ r ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

E analisando a função:

e x 2 + y 2

E sabendo que x 2 + y 2 = r 2 então:

e r 2

Passo 3

De forma que a nossa integral fica:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 e r 2 r   d r   d θ

O r que multiplica é o Jacobiano.

Passo 4

Temos outro problema que é integral e r 2 r .

“Mas Mogli, é problema atrás de problema”. Sim, mas esse é fácil de resolver.

Como? Podemos usar uma substituição.

Façamos r 2 = u assim d u d r = 2 r . E lembre-se, quando fazemos alguma substituição na integral, qualquer que seja, temos que verificar também como que ficam os novos limites de integração nessa substituição. Desse modo:

q u a n d o   r = 0 → u = r 2 = 0 2 = 0

q u a n d o   r = 2 → r = r 2 = 2 2 = 4

Assim a nossa integral fica:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 e u   r 2 r d u   d θ = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 e u 2   d u   d θ

E assim fica muito mais fácil. Integrando em u:

∫ - π 2 π 2 1 2 e u 0 4 d θ

∫ - π 2 π 2 1 2 e 4 - 1 d θ

Veja que 1 2 e 4 - 1 é constante para θ . Assim podemos tirá-lo da integração

1 2 e 4 - 1 ∫ - π 2 π 2 d θ

Integrando em θ :

1 2 e 4 - 1 π 2 - - π 2 = π 1 2 e 4 - 1

Assim, resumindo:

∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d A = ∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d y   d x = π 1 2 e 4 - 1  

Resposta

∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d A = ∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d y   d x = π 1 2 e 4 - 1

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