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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 7ª edição americana. Capítulo 15 Seção 4 Problema 9.

(Cap 15.4 – Ex 9) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro a origem e raios 1 e 3.

Passo 1

Falaiii galerinha, show de bolinhas?

Sabemos que ...

Inicialmente precisamos mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Portanto, temos:

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A = ∬ R r sen ⁡ r 2 d A

Agora, precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares. O valor do raio r varia de 1 até 3 (região entre os círculos), e o valor de θ varia de 0 até π / 2 , equivalente ao primeiro quadrante.

Considerando a integral dada, temos

A região R

Passo 2

Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,

∫ 0 π / 2 ∫ 1 3 r sen ⁡ r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, por substituição:

u = r 2 → d u = 2 r   d r

∫ sen ⁡ u d u 2 = - cos ⁡ u 2

= - cos ⁡ r 2 2

Voltando:

∫ 0 π 2 - cos ⁡ r 2 2 1 3 d θ

= ∫ 0 π / 2 - cos ⁡ 9 2 + cos ⁡ 1 2 d θ    

= π cos ⁡ 1 - cos ⁡ 9 4

Resposta

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A = π cos ⁡ 1 - cos ⁡ 9 4

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