7 - Usando coordenadas polares, calcule:

g) ∫ ∫ R d x d y , onde R é a região limitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 . Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos que calcular a integral dupla de 1 limitada por uma região R onde R = 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 .

Organizando essa equação vemos que se trata da equação de uma elipse

x - 3 2 1 + y - 2 2 4 = 1

Quando estamos tratando de uma elipse em R , podemos converter as coordenadas x , y para as coordenadas r , θ , ou seja, para as coordenadas polares.

Como temos uma elipse, a conversão para polares é um pouco diferente. Primeiro, quando vamos converter x , temos que adicionar um termo a , então x = a r c o s θ . Para y temos que fazer a mesma coisa porem com outro valor, y = b r s e n θ .

Ok, mas de onde saiu esses a e b ?? 🤔

A equação da elipse é

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Correto?

É daqui que tiramos os valores de a e b !

Passo 2

Antes de montar nossa integral, vamos ver como é nossa região de integração?

Se plotarmos 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 , vamos obter

Perceba que nossa elipse está com seu centro um pouco distante da origem do nosso sistema.

Dessa forma fica muito difícil obter os valores de integração para r e θ , não acha?

Então o que podemos fazer??

Podemos transladar nossa origem para o centro da nossa região, não é?

Com isso, temos que fazer a seguinte mudança. Lembrando que nosso a = 1 e b = 2

x = a r c o s θ y = b r s e n θ → x - 3 = r c o s θ y - 2 = 2 r s e n θ

Dessa forma podemos obter nosso r substituindo isso na nossa equação

4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4

4 r c o s θ 2 + 2 r s e n θ 2 = 4

4 r 2 c o s 2 θ + 4 r 2 s e n 2 θ = 4

Dividindo nossa equação por 4 e colocando r 2 em evidencia, temos

r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1

Se c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 , então

r 2 = 1

r = 1

Assim, nossos limites de integração em r vai de 0 a 1 .

Passo 3

Como agora estamos no centro da nossa elipse, a variação do ângulo percorre todos os valores trigonométricos, logo, os limites de integração para θ é de 0 a 2 π .

E o jacobiano? O que muda nele?

O jacobiano continua o mesmo quando temos uma elipse j = a b r , se a = 1 e b = 2 , então

j = 2 r

Agora temos todos os dados pra montar nossa integral!

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ

Primeiro integrando a r , aplicamos o método de integração de polinômios: dividimos a variável pela sua potencia + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ 2 r d r = 2 r 1 + 1 1 + 1 = r 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 r d r = 1 2 - 0 2

∫ 0 1 2 r d r = 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora com esse resultado, integramos com relação a θ .

Como temos apenas uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela integral, correto?

∫ 1 d θ = 1 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π 1 d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ = 2 π - 0

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ = 2 π

Acabou? Ainda não!

No fim do enunciado, foi pedido para interpretarmos o resultado a partir de uma perspectiva geométrica.

E o que podemos afirmar é que a area dentro da região limitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 é de 2 π .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ = 2 π

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