UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 13a
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada usando as coordenadas polares. Então, vamos precisar das equações:
Usando essas equações, vamos descobrir os nossos limites de integração em função de e e transformar o nosso integrando.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:
Usando a identidade , temos:
Passo 3
Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Temos:
Como e , vamos ter:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora vamos usar de novo a identidade trigonométrica , fazendo:
Então, já sabemos que o raio varia no intervalo:
Agora repare que temos , elevando os dois lados ao quadrado, vamos ter:
Então, temos uma circunferência de raio e a nossa variável varia de até . Isso significa que o nosso ângulo variar de até , ou seja:
Passo 4
Agora vamos montar nossa integral com os resultados dos passos anteriores:
Então, integrando primeiro em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉