Calcule , em que é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo . Esboce a região .
Passo 1
Vamos começar esboçando a região de integração, temos um círculo de raio centrado na origem limitado ao primeiro quadrante:
Passo 2
Beleza, agora vamos escrever matematicamente essa região. Como temos um círculo, vamos usar coordenadas polares:
A região para a ser então (pois temos um quarto de volta trigonométrica) e , pois o raio varia desde a origem até a circunferência de raio .
Passo 3
Fazendo essa substituição na integral, temos:
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Agora em relação a :