4 . Calcule a integral

∬ a r c t g y x   d A

onde a região R é definida por R   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4   ,   0 ≤ y ≤ x } .

Passo 1

Desenhando tudo o que o enunciado nos dar temos:

Porém a área que estamos interessados é a área abaixo da reta y = x (reta vermelha), fora do círculo de raio 1 (círculo verde), dentro do círculo de raio 2 (círculo azul) e no primeiro quadrante.

Sabendo disso vamos usar coordenadas polares para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro vamos passar o que temos para polar. Sabemos que:

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Em coordenadas polares:

1 ≤ r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 θ ≤ 4 ⇒ 1 ≤ r 2 ≤ 4 ∴ 1 ≤ r ≤ 2

Sabemos que θ vai de 0 até a reta y = x , ou seja:

r cos ⁡ θ = r sen ⁡ θ ⇒ tan ⁡ θ = 1   ∴ θ = π 4

Então:

0 ≤ θ ≤ π 4

Agora é só resolver a integral dupla!

Passo 3

Resolvendo a integral:

∫ 0 π 4 ∫ 1 2 a r c t g r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ r   d r d θ = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 a r c t g tan ⁡ θ r   d r d θ = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 θ ⋅   r d r d θ

= ∫ 0 π 4 θ ⋅ r 2 2 1 2   d θ = 3 2 ∫ 0 π 4 θ   d θ = 3 2 θ 2 2 0 π 4 = 3 π 2 64

Resposta

3 π 2 64

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