Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 4 – Exercício 40
(Capítulo 15.4 – Exercício 40)
(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano )
onde é o disco com raio e centro na origem. Mostre que
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é
onde é o quadrado com vértices . Use esse resultado para mostrar que
(c) Deduza que
(d) Fazendo a mudança de variável , mostre que
(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)
Passo 1
Faaala galera, beleza?
Eu sei que esse enunciado assusta um pouco hahaha mas vamos com calma, item por item, que aí matamos ele rapidinho ok?
(a) Aqui queremos mostrar que essa integral dupla tem esse resultado:
Para isso, vamos converter para coordenadas polares, onde
E o Jacobiano dessa transformação é
Vamos lá!
Passo 2
Então temos:
Vamos reparar também que, pelos intervalos de integração, , então e
Então vamos resolver essa integral:
Passo 3
Temos
Resolvendo a integral de dentro:
Então:
Showw, vamos pros próximos itens
Passo 4
(b) Nesse item, queremos mostrar que
A gente pode dar uma ajeitada na integral, assim ó:
Opa! Ficou igualzinha a integral do item anterior hahahaha então, como foi comprovado na letra a, realmente essa integral é igual a
Passo 5
(c) Agora queremos deduzir que
Repara que a letra não faz diferença, só estamos mudando a variável aqui:
Então, temos:
Ou seja, podemos escrever a equação:
E a partir do item anterior:
E por fim:
Passo 6
(d) Pra fechar, vamos mostrar que
Olhando pra integral do item anterior, vamos fazer a mudança de variável:
Ou seja,
E fimmmm!
Resposta
Demonstrações nos passos acima