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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 10

Calcule a seguinte integral

∬ D x x 2 + y 2 d A

Em que D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 2 y = x 2 + y 2 e pelas retas y = 3 3 x e x = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∬ D x x 2 + y 2 d A

E pediu para calcular essa integral e aqui nós vamos usar coordenadas polares (viu aquele x 2 + y 2 e a região é circular, é batata! Polares!). E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando a região dada temos

x 2 + y 2 - 2 y + 1 - 1 = 0 → x 2 + y - 1 2 = 1

y = 3 3   x

x = 0

No primeiro quadrante!

E esboçando essa região, temos isso aqui

Percebemos que a região é um setor circular! Os limites em r vão de 0 até 2 s e n θ (equação do círculo de raio 2 deslocado em y ) e em θ de π 6 até π 2

Lembrando que o diferencial de área em polares é

d A = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∬ D x x 2 + y 2 d A

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ 2 s e n θ

π 6 ≤ θ ≤ π 2

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

x x 2 + y 2 = r   c o s θ ( r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ) = r 2 c o s θ

Bora montar essa integral!

∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 2 s e n θ r 3 c o s θ   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 2 s e n θ r 3 c o s θ   d r   d θ

Integrando em r e substituindo os limites de integração:

∫ π 6 π 2 cos ⁡ θ r 4 4 0 2   s e n θ d θ = 1 4 ∫ π 6 π 2 2 4 s e n 4 θ c o s θ   d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ !

Assim temos

1 4 ∫ π 6 π 2 2 4 s e n 4 θ c o s θ   d θ

Na integral vamos usar substituição simples com u = s e n θ :

= 1 6 4   s e n θ 5 5 π 6 π 2

Simplificando e aplicando nos limites:

= 4 5 1 - 1 2 5 = 4 5 . 31 32

= 31 40

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

31 40

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