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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, P1 - 2022.1, Questão 2.

Calcule ∬ R 1 x 2 + y 2 d A onde R é a região do plano no interior da cardióide x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y e no exterior do círculo x 2 + y 2 = 1 . Sugestão: use coordenadas polares

a) π 3

b) 1

c) π 2

d) 2

e) 1 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, nosso objetivo é obter a integral ∬ R 1 x 2 + y 2 d A em que R é a região interna a x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y e externa a x 2 + y 2 = 1 .

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

O enunciado do problema nos deu a sugestão de usar coordenadas polares e como estamos trabalhando com circunferências, acho que realmente é uma ótima ideia.

Convertendo as coordenadas cartesianas para coordenadas polares, fazemos

x = r c o s θ y = r s e n θ x 2 + y 2 = r 2 J = r

Em que J é um jacobiano que multiplicamos a função de integração após fazer as mudanças...

Bora lá! 😎

Passo 2

Vamos começar convertendo a integral e os limites da região de integração

∬ R 1 x 2 + y 2 d A → ∬ R 1 r 2 r d A → ∬ R 1 d A

Se x 2 + y 2 = 1 então para obter os limites de θ fazemos

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y → 1 = 1 + r s e n θ

s e n θ = 0

Portanto, θ varia de 0 a π para satisfazer a equação.

E para obter os limites de r , fazemos

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y → r 2 = r 2 + r s e n θ →

r 2 = r + r s e n θ

r 2 = r 1 + s e n θ

r = 1 + s e n θ

Portanto, se estamos interessados na área interior à cardioide e exterior à circunferência de raio 1 , então r varia de 1 a 1 + s e n θ

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Aplicando esses limites na integral, temos

∫ 0 π ∫ 1 1 + s e n θ 1 d r d θ

Integrando 1 com relação a r , resulta em r ...

Aplicando os limites de integração

∫ 1 1 + s e n θ 1 d r = 1 + s e n θ - 1 = s e n θ

Integrando o resultado em função de θ ...

∫ s e n θ d θ = - cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π - cos ⁡ θ d θ = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

∫ 0 π ∫ 1 1 + s e n θ 1 d r d θ = 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d) 2

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