Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 0 , x 2 + y 2 = - 3 x e z = x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu três superfícies e pediu pra gente calcular o volume entre elas. O nosso sólido está acima do plano x y , z = 0 , abaixo do cone z = x 2 + y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = - 3 x .

O nosso sólido também está acima do disco D , no plano x y , cujo limite tem a equação x 2 + y 2 = - 3 x .

Em coordenadas polares, nós temos x 2 + y 2 = r 2 e x = r cos ⁡ θ . Substituindo isso na nossa equação x 2 + y 2 = - 3 x , temos:

r = - 3 cos ⁡ θ

Portanto, o disco D é dado por:

D = r ,   θ | - π 2 ≤ r ≤ π 2 ,   0 ≤ r ≤ - 3 cos ⁡ θ

Nós temos um teorema que diz que se nós temos uma função contínua em uma região polar como essa, então podemos escrever a integral:

∬ D f x ,   y d A = ∫ a b ∫ h 1 ( θ ) h 2 ( θ ) f ( r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ) r d r d θ

Nós já encontramos nossos intervalos de integração, então o que nós vamos fazer é escrever nossa função em coordenadas polares e calcular nossa integral pra encontrar o volume do sólido.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Como z = x 2 + y 2 , em coordenadas polares temos z = r . Assim,

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 - 3 cos ⁡ θ r r d r d θ

Vamos integrar primeiro em relação a r :

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 - 3 cos ⁡ θ r 2 d r d θ

∫ - π / 2 π / 2 r 3 3 0 - 3 cos ⁡ θ d θ

Aplicando os limites em r :

∫ - π / 2 π / 2 - 3 cos ⁡ θ 3 3 d θ

∫ - π / 2 π / 2 - 9 cos 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

Galera, pra calcular nossa integral em relação a θ , vamos primeiro usar a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Substituindo na integral:

- 9 ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ d θ

- 9 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ - ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Na primeira integral, nós temos:

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ - π 2 π 2

Pra resolver a segunda integral, nós vamos precisar fazer uma substituição. Vamos chamar:

u = sin ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo em ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ , temos:

∫ - π 2 π 2 u 2 d u = u 3 3 - π 2 π 2

Voltando pra nossa integral original e substituindo os intervalos de integração, temos:

- 9 sin ⁡ θ - sin 3 ⁡ θ 3 - π 2 π 2

- 9 sin ⁡ π 2 + 3 sin 3 ⁡ π 2 - - 9 sin ⁡ - π 2 + 3 sin 3 ⁡ - π 2

= - 12

E encontramos nosso volume.

Valeu, galera! 😉

Resposta

V = 12

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