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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 12c

Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

c) Uma esfera de raio a .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de uma esfera de raio a , então vamos usar a equção da esfera na forma:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Utilizando as coordenas polares, x 2 + y 2 = r 2 , vamos ter:

r 2 + z 2 = a 2 → z 2 = a 2 - r 2

Assim, a parte superior da esfera vai ser dada por z = a 2 - r 2 e pra pegar a esfera toda, basta multiplicar por 2 :

z = 2 a 2 - r 2

Esse vai ser o nosso integrando na fórmula da integral de volume:

V = ∬ D z   d A

Onde D é a nossa região de integração. Como o nosso raio varia do centro até a borda esfera, temos:

0 ≤ r ≤ a

E o nosso ângulo variando no intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo os dados que encontramos no passo 1 na nossa integral, vamos ter:

∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 a 2 - r 2 ∙   r d r d θ

Pra calcular essa integral, vamos fazer:

u = a 2 - r 2

d u = - 2 r   d r →   - d u 2 = r   d r

r = 0 → u = a 2

r = a → u = 0

Assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ a 2 0 - 2 u 2 d u d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 u d u d θ

Integrando primeiro em relação a u :

∫ 0 2 π 2 3 u 3 0 a 2 d θ

Aplicando os intervalos de integração em u :

∫ 0 2 π 2 3 a 2 3 - 2 3 0 3 d θ

= ∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ = 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

2 a 3 3 θ 0 2 π

E aplicando os limites de integração em θ :

2 a 3 3 2 π - 0

= 4 a 3 π 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 a 3 π 3

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