UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº José de Albuquerque - Lista de Gráficos, L'hopital e problemas de otimização, Questão 11
11. Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, queremos obter uma caixa que tenha de volume, mas que tenha as menores dimensões possíveis sem a tampa.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.
Primeiro, para uma caixa de base quadrada de lado e altura , o volume é calculado como
Essa equação tem que ser satisfeita sempre.
E a equação que descreve as áreas da caixa sem a tampa é dada por
Essa equação temos que maximizar.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Isolando uma das variáveis da equação do volume e substituindo na equação da área, temos
Substituindo em
Derivando para obter uma relação entre a taxa em variação de em função de , temos
Igualando a ...
Isolando em um lado...
Assim, vemos que é a medida que ser menor possível.
Substituindo em ...
Portanto, as medidas do retângulo são e
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
e