USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.29a
Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata?
Por que as latas encontradas no mercado não são, em geral, como em Tipicamente, o metal é entregue em chapas retangulares. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada e as sobreas são recicladas. Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume que minimiza o custo do material utilizado.
Passo 1
Fala aí galera, tudo bem?
Nessa questão temos um famoso problema de otimização. Temos uma lata cilíndrica que possui um volume fixo . Ou seja, como o volume de um cilindro vale:
onde é o diâmetro da base e a altura do cilindro.
Temos que:
Beleza!
Com essa informação, o item do enunciado nos pergunta qual a relação de e para que a seja gasta a menor quantidade possível de metal.
Mas, o metal vai estar justamente na superfície do cilindro. Então, o que o problema realmente nos pergunta é: qual a relação de e para que a área superficial do cilindro seja mínima. Beleza?
Pra fazer isso, vamos isolar em função de na equação do volume do cilindro, e depois substituímos na expressão da área superficial dele:
Daí, é só derivarmos em relação a e igualar a zero. Assim, teremos o ponto de mínimo e máximo da área superficial.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Bom, temos que:
Isolando em função de , temos:
Massa! Daí substituindo na expressão da área superficial:
onde o primeiro termo é a área lateral e o segundo a soma das áreas na tampa do cilindro.
Logo:
Excelente!
Passo 3
Agora que j�� temos a expressão da área superficial do cilindro em função do volume (que é fixo, portanto, uma constante) e do diâmetro , podemos derivar em relação a e igualar a zero. Assim, teremos os pontos de máximo ou mínimo de :
Logo:
Então:
Esses são os pontos de máximo ou mínimo. Não podemos ter o diâmetro negativo, então nossa única opção é:
Logo, esse ponto precisa ser de mínimo, caso contrário não teríamos área superficial mínima para valores reais positivos.
Beleza! Agora, podemos calcular em função desse valor que encontramos para :
Opaaaa! Olha que legal... Encontramos que:
Portanto:
Passo 4
Já no item , o enunciado nos pede pra considerar que na prática não se corta exatamente uma área superficial:
Para colocar nas tampas da lata. Na verdade, são cortadas placas quadradas de área:
E, a partir delas são feitas as tampas. Sendo assim, nossa nova área superficial do cilindro vale:
Daí, derivando em relação a , assim como fizemos no item , vem:
Logo:
onde novamente tomamos apenas a solução positiva devido ao contexto do problema.
Daí, podemos calcular :
Agora vamos calcular a razão pedida:
Essa é a relação que foi pedida no enunciado.
Prontinho pessoal! Muito obrigado pela atenção de vocês!
Até a próxima 😉