Um triatleta se encontra numa praia reta, a 900 m do Bar do Zé, quando vê uma criança cair de um barco no mar a 300 m da praia, na altura deste bar, como ilustrado abaixo. Se o atleta corre na areia a 500 m/min e nada a 400 m/min, determine o caminho que ele deve escolher para chegar o mais rápido possível ao resgate da criança. Quanto tempo vai demorar para percorrer este caminho? (Obs:300² + 400² = 500²).

Passo 1

O atleta corre uma distância x na praia e depois uma distância y no mar, diretamente na direção da criança. Portanto, o tempo em minutos do percurso é t = x 500 + y 400 .

A distância y nadada é dada por y = z 2 + 300 2 , onde z é a distância do bar até o ponto a partir da qual o atleta começa a nadar, e z = 900 - x . Assim, a função a ser minimizada é

t x = x 500 + 900 - x 2 + 300 2 400

Passo 2

Estamos à procura do mínimo absoluto desta função do intervalo de [ 0,900 ] . Os pontos críticos desta função se encontram onde a derivada

t ' x = 1 500 + 1 800 900 - x 2 + 300 2 ∙ 2 ( 900 - x ) ( - 1 )

Se iguala a zero.

1 500 = 900 - x 400 900 - x 2 + 300 2

900 - x 2 + 300 2 = 500 400 900 - x

Elevando tudo ao quadrado

900 - x 2 + 300 2 = 5 4 900 - x 2

900 - x 2 + 300 2 = 25 16 900 - x 2

300 2 = 25 16 - 1 900 - x 2

300 2 = 9 16 900 - x 2

Fazendo raiz dos 2 lados

300 = 3 4 900 - x

400 = 900 - x

x = 500

Outra opção é

300 = 3 4 x - 900

400 = x - 900

x = 1300

Mas essa não faz sentido porque é maior que a distância até o bar.

Passo 3

Pelo método do intervalo fechado, basta avaliarmos t no ponto crítico e nos extremos do intervalo, o menor desses valores será o mínimo absoluto.

t 500 = 500 500 + 900 - 500 2 + 300 2 400 = 1 + 500 400 = 9 4

t 0 = 900 2 + 300 2 400 = 3 10 4

t 900 = 900 500 + 300 2 400

= 9 5 + 3 4

= 51 20

O menor valor é 9 4 . O atleta deve correr ao longo da praia pelos primeiros 500 m e depois nadar diretamente na direção da criança. Ele vai demorar 9 4 = 2.25 min para chegar lá

Resposta

O atleta deve correr ao longo da praia pelos primeiros 500 m e depois nadar diretamente na direção da criança. Ele vai demorar 9 4 = 2.25 min para chegar lá

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