Passo 1

A primeira coisa que ele mandou fazer no problema é verificar se a equação é separável e para isso precisamos colocar a equação naquele formato característico.

g x d x = f y d y

Vamos manipular a equação e ver se é possível fazer isso.

y csc ⁡ y d y = 1 + x 2 x d x

Agora é só resolver.

Passo 2

Integrando a parte esquerda da equação.

∫ y csc ⁡ y d y = ∫ y sen ⁡ y   d y

Tomando u = y e d v = sen ⁡ y d y podemos resolver essa integral utilizando integração por partes. Lembrando a fórmula.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ y sen ⁡ y   d y = - y cos ⁡ y + ∫ cos ⁡ y d y

∫ y sen ⁡ y   d y = sen ⁡ y - y cos ⁡ y

Lembrando que nós deixamos para adicionar a constante de integração depois que igualarmos as equações.

Passo 3

Integrando a parte direita da equação.

∫ 1 + x 2 x d x = ∫ 1 x d x + ∫ x d x

∫ 1 + x 2 x d x = ln ⁡ x + x 2 2

Passo 4

Igualando as integrais e somando uma constante C

sen ⁡ y - y cos ⁡ y =   ln ⁡ x + x 2 2 + C

Temos, então, a solução implícita do problema.

Resposta

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