Equações Separáveis
Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial .
Passo 1
Utilizando outra notação para a derivada podemos perceber o seguinte:
Esta equação diferencial pode ser separada com respeito às variáveis e :
Podemos então integrar ambos os lados da equação:
A primeira integral é mais simples:
Já a segunda vamos precisar pensar um pouco mais...
Passo 2
Esta integral nova parece uma boa candidata para integração por partes:
Pois sabemos que com essa técnica podemos abaixar o grau do polinômio e o vai continuar sempre a mesma coisa. Aplicando a fórmula:
Fazemos:
Portanto:
Passo 3
Voltando ao problema original, temos:
Sendo que a condição inicial nos diz :
Plugando de volta na expressão da solução:
Podemos então resolver...
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du