Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial .
Passo 1
Utilizando outra notação para a derivada podemos perceber o seguinte:
Esta equação diferencial pode ser separada com respeito às variáveis e :
Podemos então integrar ambos os lados da equação:
A primeira integral é mais simples:
Já a segunda vamos precisar pensar um pouco mais...
Passo 2
Esta integral nova parece uma boa candidata para integração por partes:
Pois sabemos que com essa técnica podemos abaixar o grau do polinômio e o vai continuar sempre a mesma coisa. Aplicando a fórmula:
Fazemos:
Portanto:
Passo 3
Voltando ao problema original, temos:
Sendo que a condição inicial nos diz :
Plugando de volta na expressão da solução:
Podemos então resolver...