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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 7g

Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

g ) x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0 y 0 = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0 y 0 = 1

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y . E para isso vamos trocar y ' = d y d x para termos os diferenciais!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0

Reorganizando os termos:

x 2 + 1 d y d x + y 2 + 1 = 0

x 2 + 1 d y d x = - y 2 + 1

1 1 + y 2 d y = - 1 1 + x 2 d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ 1 1 + y 2 d y = - ∫ 1 1 + x 2 d x

arctan ⁡ y + K 1 = - arctan ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 2 - K 1

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + C

Passo 4

Como temos a condição inicial y 0 = 1 , substituímos na equação e achamos a constante:

arctan ⁡ 1 = - arctan ⁡ 0 + C

π 4 = - 0 + C

C = π 4

Voltando pra equação:

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + π 4

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + π 4

Passo 5

Lembrando que:

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b

Então:

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + tan ⁡ π 4 1 - tan ⁡ - arctan ⁡ x tan ⁡ π 4

y = - x + 1 1 - - x 1

y = 1 - x 1 + x

Resposta

y = 1 - x 1 + x

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du