Resolva a equação diferencial 1 + y 2 e 2 x y ' + y = 0 , y = y ( x ) , mediante a mudança de variáveis y x = v x e m x (ou seja, v x = y x e - m x ); onde m deve ser escolhido convenientemente de modo a obter uma EDO (em termos de v ) separável.

Passo 1

Fazendo a substituição, teremos:

1 + v 2 e 2 m + 2 x v ' + m v e m x + v e m x   = 0 ⇒ 1 + v 2 e 2 m + 2 x v ' + ( m + 1 ) v = 0

Tomando m = - 1 , avançamos para:

1 + v 2 v ' = 0 ⇒ v ' = 0 ⇒ v = A ∈ R

Uma vez que v 2 + 1 > 0 . Assim,

y = v e m x = A e - x   c o m   A ∈ R

Resposta

y = v e m x = A e - x   c o m   A ∈ R

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