1) Determine a solução geral da edo de variáveis separáveis

dy/dx = 1 + x + y^2 + x*y^2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que calcular a solução geral da EDO dada por

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2

Tem ideia de como fazer isso? 😬

No enunciado foi dado uma dica de muita ajuda que diz que a EDO é separável!

Para calcular a solução de uma EDO separável, temos que manipular a EDO dada de modo que em um lado fique tudo em relação a y e no outro lado fique tudo em relação a x , assim, integrando nos dois lados podemos encontrar uma solução para y .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Manipulando a EDO do problema, temos

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2

d y d x = 1 + x + 1 + x y 2

d y d x = 1 + x 1 + y 2

Separando as variáveis, temos

1 1 + y 2 d y = 1 + x d x  

Integrando nos dois lados

∫ 1 1 + y 2 d y = ∫ 1 + x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

a r c t g y + C 1 = x + x 2 2 + C 2

a r c t g y = x + x 2 2 + C

Assim, isolando y , vamos obter

y = tan ⁡ x 2 2 + x + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y = tan ⁡ x 2 2 + x + C

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