Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.

14 * x * y * dx - 3 * (y - 2) * dy = 0

Passo 1

Bom, para ser de variáveis separáveis, a gente precisa conseguir escrever aquela EDO da seguinte forma:

y ' = f x g ( y )

Ou seja, como um produto de funções de x e y . Vamos tentar?

x y d x - 3 y - 2 d y = 0

x y - 3 y - 2 d y d x = 0

3 y - 2 d y d x = x y

d y d x = x 3 y y - 2

Olha só! Conseguimos. Então é sim de variáveis separáveis.

Passo 2

Vamos agora resolver essa EDO. Primeiro, escreva dessa forma:

y - 2 y d y d x = x 3

y - 2 y d y = x 3 d x

Integrando em ambos os lados:

∫ y - 2 y d y = ∫ x 3 d x

Bora resolver cada uma delas e depois voltamos pra essa igualdade, ok?

∫ y - 2 y d y = ∫ 1 - 2 y d y = y - 2 ln ⁡ y + D

∫ x 3 d x = x 2 6 + E

Passo 3

Voltando pra nossa igualdade:

∫ y - 2 y d y = ∫ x 3 d x

y - 2 ln ⁡ y + D = x 2 6 + E

Agora vamos arrumar esses termos:

6 y - 12 ln ⁡ y + C = x 2

x = ± 6 y - 12 ln ⁡ y + C

Tanto uma, quanto a outra solução são válidas.

Resposta

14 .   x = 6 y - 12 ln ⁡ y + C ou x = - 6 y - 12 ln ⁡ y + C

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