Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Separável

Ver Teoria
Exercício 881234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878990919293949596979899100

Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 7i

Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

i ) x 3 sin ⁡ y y ' = 2 lim x → ∞ ⁡ y ( x ) = π 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

x 3 sin ⁡ y y ' = 2 lim x → ∞ ⁡ y x = π 2

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y . E para isso vamos trocar y ' = d y d x para termos os diferenciais!

Beleza?

É isso! Bora lá? Ah, nessa equação temos uma condição inicial, então podemos determinar a constante de integração no final!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

x 3 sen ⁡ y   y ' = 2

Reorganizando os termos:

x 3 sen ⁡ y d y d x = 2

sen ⁡ y   d y = 2 x 3 d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ sen ⁡ y   d y = ∫ 2 x 3 d x

- cos ⁡ y + K 1 = 2 - 2 x 2 + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 1 - K 2

cos ⁡ y = 1 x 2 + C

Passo 4

Como temos a condição lim x → ∞ ⁡ y x = π 2 , vamos achar a constante:

cos ⁡ π 2 = 1 ∞ 2 + C

0 = 0 + C

C = 0

Voltando pra equação:

cos ⁡ y = 1 x 2

y = arccos ⁡ 1 x 2

Resposta

y = arccos ⁡ 1 x 2

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du