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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Considere a equação diferencial y ' = y 2 - y ∙ x ∙ sin ⁡ x

  1. Obtenha a solução geral explícita da equação diferencial acima.
  2. Determine a solução da equação diferencial acima que satisfaz a condição inicial y 0 = 2

Passo 1

Letra a) Então, pra gente determinar a solução dessa equação diferencial primeiro repare que a gente tem um produto de uma função de y : y 2 - y por outra função que só tem x : x ∙ sin ⁡ x .

Pow! Isso está nos indicando que a solução dessa EDO é por.... variáveis separáveis !

Bora então ver como a gente vai separar isso aí essas coisas?

Passo 2

Bem, a primeira coisa que devemos a fazer quando a gente identifica que é por variáveis separáveis que matamos o problema é trocar y ' por d y d x (lembre-se que é a mesma coisa, ok?)

y ' = y 2 - y ∙ x ∙ sin ⁡ x   →

d y d x = y 2 - y ∙ x ∙ sin ⁡ x

Agora vamos passar tudo que tem x pra um lado e tudo que tem x , pro outro, bele?

d y y 2 - y = x ∙ sin ⁡ x d x

Bem, agora é só integrar dos dois lados e basicamente o problema se resolve ;)

∫ d y y 2 - y = ∫ x ∙ sin ⁡ x d x

Passo 3

Então calculando a primeira integral...

∫ d y y 2 - y

Colocando o y em evidência...

∫ 1 y y - 1 d y

Como temos um produto no denominador, podemos resolver o problema por frações parciais !

Então vamos pegar separadamente essa fração

1 y y - 1

Pela definição de frações parciais, podemos separar isso aí dessa forma

1 y y - 1 = A y + B y - 1

Bora encontrar essas constantes?

Passo 4

Para encontrar essas constantes podemos fazer o seguinte:

Primeiro tirar o M M C de baixo, e lembre-se de que o M M C é multiplicar esses denominadores

1 y y - 1 = A y + B y - 1                 →

1 y y - 1 = a l g u m a   c o i s a y ( y - 1 )

Observe que eu coloquei ( a l g u m a   c o i s a ) no nominador, quem será?

Bem, a gente encontra esse nominador como se fosse um problema de MMC qualquer, ou seja, pegamos o termo y y - 1 dividimos pelo de baixo e multiplicamos pelo de cima, dessa fora aqui:

1 y ( y - 1 ) = A ( y - 1 ) + B y y ( y - 1 )

Cortando agora esses denominadores que são os mesmos...

A y - 1 + B y = 1

A y - A + B y = 1

A + B y - A = 1

Como não tem y do lado de lá, A + B deve ser

A + B = 0             →                 A = - B

Quanto ao – A que é o termo independente do lado de cá, ele dever ser o próprio 1 (termo independente de lá)

A = - 1         →             B = 1

Passo 5

Voltando agora para integral...

∫ 1 y y - 1 d y = ∫ A y + B y - 1 d y   →

∫ 1 y y - 1 d y = ∫ A y d y + ∫ B y - 1 d y  

Como A e B são constantes

∫ 1 y y - 1 d y = A ∫ 1 y d y + B ∫ 1 y - 1 d y

Substituindo

∫ 1 y y - 1 d y = - ∫ 1 y d y + ∫ 1 y - 1 d y

As duas integrais saem fácil, ou seja...

∫ 1 y y - 1 d y = - ln ⁡ y + ln ⁡ y - 1

Pela propriedade da subtração de logaritmos...

∫ 1 y y - 1 d y = ln ⁡ y - 1 y

Passo 6

Enquanto isso... do outro lado da história, ops! Da igualdade rsrs... tem que resolver a outra integral do passo 2

∫ x ∙ sin ⁡ x d x

Essa integral aí, podemos fazer uma integração por partes, pois se tomarmos o x para derivar, ele morre, percebeu? :D

Então

u = x             →                   d u = d x

d v = sin ⁡ x d x       ⇒ C o m o   a   d e r i v a d a   d o   - cos ⁡ x é   o   s e n o ,       e n t ã o             v = - cos ⁡ x  

Aplicando então a fórmula de integração por partes, ou seja

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Comparando...

∫ x sin ⁡ x d x = x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x →

∫ x sin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x →

Como a derivada do seno é o cosseno, a integral de lá morre também, ficando...

∫ x sin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Passo 7

Retornando para o problema inicial do passo 2 e igualando os resultados que obtivemos, ou seja

∫ d y y 2 - y = ∫ x ∙ sin ⁡ x d x →

ln ⁡ y - 1 y = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x →

Não se esquecendo de adicionar a constante de integração agora de um dos lados...

ln ⁡ y - 1 y = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c

Aplicando a exponencial de ambos os lados para eliminar esse ln, teremos

e ln ⁡ y - 1 y = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c →

y - 1 y = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c

A solução basicamente é esta, mas como o problema nos pedia a solução explícita, podemos trabalhar mais um pouco com essa solução, bora?

Passo 8

Separando essa fração do lado de cá em duas partes

y - 1 y = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c →

1 - 1 y = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c →

- 1 y = e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c - 1

Multiplicando por - 1

1 y = 1 - e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c 1

Invertendo essas frações dos dois lados ao mesmo tempo

y = 1 1 - e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + c

Usualmente, a gente costuma separar aquele c , dessa forma aqui

y = 1 1 - e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x ∙ e c

e com c é uma constante qualquer, e c também é qualquer (a gente pode chamar de D ):

y = 1 1 - D e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Passo 9

Letra b) Bem, a solução que a gente obteve foi geral, agora vamos obter a solução que satisfaz a condição dada, ou seja y 0 = 2

Basicamente, estamos atrás de D da solução anterior, percebeu?

Basta substituir então, sem grandes mistérios!

y = 1 1 - D e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x       →             2 = 1 1 - D e - 0 cos ⁡ 0 + sin ⁡ 0

  2 = 1 1 - D e 0 →

2 1 = 1 1 - D

Invertendo as frações...

1 2 = 1 - D →

E isolando o D

- D = 1 2 - 1

D = 1 - 1 2

D = 1 2

Logo a solução que satisfaz a condição é

y = 1 1 - 1 2 e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x =

2 2 - e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Resposta

Letra a)

y = 1 1 - D e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Letra b)

y = 2 2 - e - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du