Cálculo Aplicado – 2ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Sabendo que após ser coado o café está a e, um minuto depois, passa para , em uma cozinha a . Determine a temperatura do café em função do tempo e o tempo que levará para o café chegar a .
Passo 1
Opa! Nesse tipo de problemas a gente usa a lei de resfriamento de Newton. No fundo, a gente vai ter que resolver um problema de valor inicial para essa equação diferencial da temperatura aqui ó:
Onde é a temperatura do objeto em função do tempo e é a temperatura do ambiente. Esse aí é uma constante que a gente vai determinar com as condições que o problema nos deu.
Passo 2
A gente pode ver que a EDO aí de cima é uma EDO separável, ou seja, a gente consegue isolar um termo que depende de e um que depende de . No fundo a gente passa tudo de para um lado e tudo de para o outro. Assim ó:
A gente integra os dois lados dessa equação
Essas integrais a gente consegue usar as tabelas e obtemos
Exponenciando os dois lados
Usando que e temos
Como é uma constante qualquer, podemos chamar esse termo de uma outra constante e tirar aquele módulo ali (o sinal vai ficar dentro dessa constante que a gente tem que encontrar):
Como o enunciado nos fala que a temperatura da cozinha é , temos que e podemos escrever
Essa equação é como a temperatura do café varia nesse ambiente. Vamos agora usar as condições para determinar esse e esse aí.
Passo 3
Vamos marcar aqui as informações que a gente tem (os nossos valores iniciais). A primeira delas é que o café possui uma temperatura de assim que entra em contato com a cozinha. Ou seja, no nosso tempo inicial temos a temperatura de , ou melhor:
Usando a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para esse tempo, temos
Igualando as duas equações temos
Opa! Por enquanto então temos
Como a gente calcula o
Passo 4
Como o enunciado nos diz um minuto após o café entrar em contato com o ambiente ele passa a ter uma temperatura de , podemos usar nossa equação para
Usando a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para esse tempo, temos
Igualando as duas equações temos
Simplificando por 5
Tirando o dos dois lados:
Como , temos
Obs: a unidade é de 1 sobre minuto.
Com isso, a equação da temperatura do café é dada por
Passo 5
Agora ele nos pede a temperatura do café após 3 minutos. Para isso, é só usar a equação da temperatura que a gente obteve no passo anterior para :